Τοποθετούμε μια μεσαία κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά, ρίχνουμε το βούτυρο, και το αφήνουμε να λιώσει.
Ρίχνουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε συνεχώς με ένα σύρμα χειρός μέχρι να δημιουργηθεί μια σφιχτή πάστα.
Ρίχνουμε το γάλα και ανακατεύουμε με το σύρμα χειρός μέχρι να ενσωματωθεί στο μείγμα.
Προσθέτουμε το νερό από τις πατάτες σε 4 δόσεις. Ξεκινάμε με την πρώτη δόση, ανακατεύοντας συνεχώς με το σύρμα χειρός, μέχρι να απορροφηθεί το νερό και να γίνει μια αραιή πάστα χωρίς να έχει γρομπαλάκια.
Προσθέτουμε τη δεύτερη δόση και ανακατεύουμε με το σύρμα χειρός, μέχρι να απορροφηθεί το νερό και να αραιώσει η πάστα που έχουμε δημιουργήσει.
Προσθέτουμε την τρίτη δόση, ανακατεύοντας συνεχώς με το σύρμα χειρός, μέχρι απορροφηθεί το νερό και να πάρει μια βράση.
Προσθέτουμε την τέταρτη δόση, ανακατεύοντας συνεχώς με το σύρμα χειρός, μέχρι να απορροφηθεί το νερό και να πάρει ακόμα μια βράση η μπεσαμέλ.
Αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά, προσθέτουμε το αβγό, αλάτι, πιπέρι, και ανακατεύουμε με το σύρμα χειρός μέχρι να ομογενοποιηθεί η μπεσαμέλ.
Αφήνουμε την κατσαρόλα στην άκρη μέχρι να τη χρειαστούμε.